Deret Bilangan Segitiga

Menentukan Rumus Jumlah Deret Bilangan Segitiga

Ada banyak cara untuk menetukan rumus deret bilangan segitiga. Pada artikel ini, rumus tersebut akan ditentukan menggunakan metode penyelsaian Sistem Persamaan Linear (SPL) dan metode Deret Faulhaber.

Versi 1: Menggunakan SPL

$$S_n = 1+3+6+10+15+21+\cdots+U_n$$ dengan $U_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Langkah 1: Menyusun Data Jumlah Parsial

$$ \begin{aligned} S_1 &=1\\ S_2 &=1+3=4\\ S_3 &=4+6=10\\ S_4 &=10+10=20\\ S_5 &=20+15=35\\ S_6 &=35+21=56 \end{aligned} $$

Langkah 2: Menentukan Derajat dengan Selisih Hingga

$$ \begin{array}{c|c|ccc} n & S_n & \Delta^1 & \Delta^2 & \Delta^3\\ \hline 1 & 1 & & & \\ 2 & 4 & 3 & & \\ 3 & 10 & 6 & 3 & \\ 4 & 20 & 10 & 4 & 1\\ 5 & 35 & 15 & 5 & 1\\ 6 & 56 & 21 & 6 & 1 \end{array} $$

Karena $\Delta^3=1$ konstan, maka $S_n$ polinomial derajat 3:

$$S_n = an^3+bn^2+cn+d$$

Langkah 3: Membentuk SPL

$$ \begin{cases} a+b+c+d = 1 & (n=1)\\ 8a+4b+2c+d = 4 & (n=2)\\ 27a+9b+3c+d = 10 & (n=3)\\ 64a+16b+4c+d = 20 & (n=4) \end{cases} $$

Langkah 4: Menyelesaikan SPL

Kurangkan berturut-turut:

$$ \begin{aligned} 7a+3b+c &=3 \quad (i)\\ 19a+5b+c &=6 \quad (ii)\\ 37a+7b+c &=10 \quad (iii) \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} (ii)-(i):\;&12a+2b=3 \quad (iv)\\ (iii)-(ii):\;&18a+2b=4 \quad (v) \end{aligned} $$ $$ (v)-(iv):\;6a=1 \Rightarrow a=\frac16 $$ $$ 12\left(\frac16\right)+2b=3 \Rightarrow b=\frac12 $$ $$ 7\left(\frac16\right)+3\left(\frac12\right)+c=3 \Rightarrow c=\frac13 $$ $$ \frac16+\frac12+\frac13+d=1 \Rightarrow d=0 $$

Langkah 5: Rumus Akhir

$$ S_n = \frac16 n^3 + \frac12 n^2 + \frac13 n $$ $$ \;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\; $$

Verifikasi:

$$ S_4=\frac{4\cdot5\cdot6}{6}=20,\quad S_5=\frac{5\cdot6\cdot7}{6}=35 $$

Versi 2: Menggunakan Deret Faulhaber

Bilangan segitiga ke-$k$:

$$U_k = 1+2+\cdots+k = \frac{k(k+1)}{2} = \frac12k^2+\frac12k$$

1. Jumlah parsial:

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} U_k = \frac12\sum_{k=1}^{n}k^2 + \frac12\sum_{k=1}^{n}k$$

2. Gunakan rumus Faulhaber:

$$ \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

Maka:

$$ \begin{aligned} S_n &= \frac12\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac12\cdot\frac{n(n+1)}{2} \\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{12} + \frac{n(n+1)}{4} \\ &= n(n+1)\left(\frac{2n+1}{12}+\frac{3}{12}\right) \\ &= \frac{n(n+1)(2n+4)}{12} \end{aligned} $$ $$ \;S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} = \binom{n+2}{3}\; $$

Catatan: Ini adalah bentuk Faulhaber derajat 3. Bandingkan dengan versi SPL sebelumnya:

$$S_n = \frac16n^3+\frac12n^2+\frac13n$$