Rumus Faulhaber Tanpa Bilangan Bernoulli

 

Rumus Faulhaber menyatakan bahwa jumlah pangkat 

$$ \sum_{k=1}^{n} k^p = 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + n^p $$

adalah sebuah polinomial dalam $n$ berderajat $p+1$. Sebelum bilangan Bernoulli dipakai secara sistematis, salah satu cara aljabar untuk menurunkan rumus ini adalah metode teleskopis yang memanfaatkan identitas binomial untuk selisih pangkat berurutan.

---

1. Identitas Dasar dan Gagasan Umum

Gunakan identitas binomial untuk selisih pangkat:

$$(m+1)^{k+1} - m^{k+1} = \sum_{j=0}^{k} \binom{k+1}{j} m^j$$

Jika kita jumlahkan persamaan ini untuk $m = 1$ sampai $n$, sisi kiri akan menjadi deret teleskopis:

$$\sum_{m=1}^{n} \left[(m+1)^{k+1} - m^{k+1}\right] = (n+1)^{k+1} - 1$$

Sisi kanan adalah kombinasi dari jumlah pangkat $S_j = \sum_{m=1}^{n} m^j$ untuk $j = 0, 1, \dots, k$. Dengan mengisolasi $S_k$, kita memperoleh ekspresi polinomial untuk $\sum_{m=1}^{n} m^k$.

Rumus Umum yang Dipakai

Dari penjumlahan teleskopis tersebut, diperoleh hubungan linear:

$$(n+1)^{k+1} - 1 = \sum_{j=0}^{k} \binom{k+1}{j} S_j$$

Karena $S_0 = n$ dan nilai $S_1, S_2, \dots, S_{k-1}$ dapat ditentukan secara berurutan, kita dapat menyelesaikan persamaan ini untuk mencari $S_k$.

---

2. Contoh Terperinci

Kasus $p = 2$ (Jumlah Kuadrat)

Identitas binomial:

$$(m+1)^3 - m^3 = 3m^2 + 3m + 1$$

Jumlahkan dari $m = 1$ sampai $n$ dan substitusi notasi $S_j$:

$$(n+1)^3 - 1 = 3S_2 + 3S_1 + S_0$$

$$(n+1)^3 - 1 = 3S_2 + 3S_1 + n$$

Masukkan $S_1 = \dfrac{n(n+1)}{2}$ dan selesaikan untuk $S_2$:

$$3S_2 = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - 1 - n - 3\left(\frac{n^2+n}{2}\right)$$

$$3S_2 = n^3 + 3n^2 + 2n - \frac{3n^2+3n}{2} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{2}$$

$$S_2 = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Kasus $p = 3$ (Jumlah Pangkat Tiga)

Identitas binomial:

$$(m+1)^4 - m^4 = 4m^3 + 6m^2 + 4m + 1$$

Jumlahkan dan substitusi $S_1, S_2$:

$$(n+1)^4 - 1 = 4S_3 + 6S_2 + 4S_1 + n$$

Setelah melakukan substitusi $S_1$ dan $S_2$ serta penyederhanaan aljabar, diperoleh:

$$4S_3 = n^4 + 2n^3 + n^2 = n^2(n+1)^2$$

$$S_3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$$

Ini membuktikan identitas terkenal bahwa

$$S_3 = (S_1)^2.$$

Metode yang sama dapat diterapkan untuk setiap $p$. Namun, karena setiap $S_p$ diperoleh dari $S_0, S_1, \ldots, S_{p-1}$, metode teleskopis pada dasarnya merupakan algoritma rekursif untuk menurunkan rumus Faulhaber, bukan sebuah rumus tertutup yang langsung berlaku untuk semua pangkat.

3. Pendekatan Barisan Aritmetika Bertingkat (Newton–Gregory)

Metode selisih maju (forward differences) Newton–Gregory dapat digunakan untuk menurunkan rumus Faulhaber melalui dua sudut pandang, yaitu dari barisan jumlah parsial maupun dari barisan suku-sukunya secara langsung. Rumus-rumus Newton–Gregory yang digunakan pada bagian ini telah dibahas dan diturunkan pada artikel sebelumnya, sehingga di sini hanya ditampilkan penerapannya untuk memperoleh rumus Faulhaber.

Metode A: Mencari Suku ke-$n$ dari Deret Parsial (Jumlah Kumulatif)

Untuk $p = 2$, deret parsialnya (jumlah kumulatif) adalah:

$$U_n = 1,\ 5,\ 14,\ 30,\ 55,\ \dots$$

Pola selisih majunya disusun sebagai berikut:

Dengan mengambil nilai ujung kiri dari setiap tingkat, kita peroleh:

$$U_1 = 1, \quad \Delta U_1 = 4, \quad \Delta^2 U_1 = 5, \quad \Delta^3 U_1 = 2$$

Rumus umum suku ke-$n$:

$$U_n = U_1 + \binom{n-1}{1}\Delta U_1 + \binom{n-1}{2}\Delta^2 U_1 + \binom{n-1}{3}\Delta^3 U_1$$

Substitusi nilai selisih ke dalam rumus:

$$U_n = 1 + 4(n-1) + \frac{5(n-1)(n-2)}{2} + \frac{2(n-1)(n-2)(n-3)}{6}$$

Jabarkan setiap suku dan samakan penyebut menjadi $6$:

$$U_n = \frac{6}{6} + \frac{24(n-1)}{6} + \frac{15(n^2-3n+2)}{6} + \frac{2(n^3-6n^2+11n-6)}{6}$$

$$= \frac{6 + (24n-24) + (15n^2-45n+30) + (2n^3-12n^2+22n-12)}{6}$$

$$= \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}$$

Faktorkan pembilang untuk mendapatkan bentuk standar:

$$U_n = \frac{n(2n^2+3n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Karena $U_n$ merepresentasikan deret parsial, terbukti bahwa

$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$

Metode B: Rumus Langsung Penjumlahan Deret

Kita tinjau langsung barisan suku-sukunya:

$$U_n = 1, 4, 9, 16, 25, \dots$$

Pola selisih majunya adalah:

Nilai ujung kiri: $U_1 = 1, \ \Delta U_1 = 3, \ \Delta^2 U_1 = 2$.

Rumus umum jumlah deret ($S_n$):

$$S_n = nU_1 + \binom{n}{2}\Delta U_1 + \binom{n}{3}\Delta^2 U_1 + \cdots$$

Karena $\Delta^3 U_1 = 0$, kita cukup substitusi hingga tingkat 2:

$$S_n = n(1) + \frac{n(n-1)}{2}(3) + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}(2)$$

Sederhanakan masing-masing suku dan samakan penyebut menjadi $6$:

$$S_n = \frac{6n}{6} + \frac{3(3n^2-3n)}{6} + \frac{2(n^3-3n^2+2n)}{6}$$

$$= \frac{6n + 9n^2 - 9n + 2n^3 - 6n^2 + 4n}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}$$

Faktorkan pembilang:

$$S_n = \frac{n(2n^2+3n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Secara umum, pendekatan menggunakan deret selisih berhingga ini dapat diperluas untuk sembarang pangkat $p$. Karena jumlah parsial dari barisan pangkat ke-$p$ selalu membentuk polinomial berderajat $p+1$, ekspansi selisih hingga akan berhenti pada suku ke-$(p+1)$ (yakni $\Delta^{p+1} U_1 = 0$), sehingga bentuk tertutup untuk sembarang nilai $p$ dapat selalu ditentukan secara eksak menggunakan deret Newton-Gregory atau rumus FINE tanpa harus bergantung pada Bilangan Bernoulli.

4. Pendekatan FINE

Pendekatan lain untuk menurunkan rumus Faulhaber adalah menggunakan Formula Interpolasi Newton Eksplisit (FINE). Rumus umum barisan aritmetika tingkat k FINE ditulis:

$$ U_n^{(k)} = (-1)^k \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k+1} (n - j) \sum_{i=0}^{k} (-1)^i \binom{k}{i} \frac{U_{i+1}}{n - (i + 1)} $$

Karena jumlah parsial $ \sum_{k=1}^{n} k^p$ merupakan polinomial berderajat $p+1$, bentuk tertutupnya dapat diperoleh dengan menginterpolasi nilai-nilai awal deret parsial menggunakan rumus FINE. Penerapan metode ini ditunjukkan pada contoh berikut.

---

Kasus $p = 2$: $S_2(n) = 1^2+2^2+\cdots+n^2$

Nilai awal: $S_2(1)=1$, $S_2(2)=5$, $S_2(3)=14$, $S_2(4)=30$. Terapkan FINE $k=3$:

$$S_2(n) = -\frac{1}{6}\cdot\frac{n!}{n(n-5)!}\cdot\left[\frac{1}{n-1}-\frac{15}{n-2}+\frac{42}{n-3}-\frac{30}{n-4}\right].$$

Dengan mengalikan faktor $(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)$ ke dalam kurung, kemudian menyederhanakan hasilnya, diperoleh

$$S_2(n) = -\frac{1}{6}\cdot(-n)(2n+1)(n+1) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

---

Kasus $p = 3$: $S_3(n) = 1^3+2^3+\cdots+n^3$

Nilai awal: $S_3(1)=1$, $S_3(2)=9$, $S_3(3)=36$, $S_3(4)=100$, $S_3(5)=225$. Terapkan FINE $k=4$:

$$S_3(n) = \frac{1}{24}\cdot\frac{n!}{n(n-6)!}\cdot\sum_{i=0}^{4}(-1)^i\binom{4}{i}\frac{S_3(i+1)}{n-(i+1)}.$$

Dengan menyederhanakan jumlah pada pembilang dan menghilangkan faktor-faktor yang sama, diperoleh

$$S_3(n) = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$$

Pendekatan Formula Interpolasi Newton Eksplisit (FINE) ini dapat diterapkan secara umum untuk sembarang pangkat $p$. Karena jumlah parsial dari barisan pangkat ke-$p$ selalu membentuk polinomial berderajat $p+1$, kita cukup menetapkan orde barisan aritmetika sebesar $k = p+1$, menghitung $(p+2)$ buah nilai awal pertama, dan mensubstitusikannya ke dalam rumus umum FINE untuk mendapatkan bentuk tertutupnya secara eksak tanpa perlu bergantung pada Bilangan Bernoulli. 

Kesimpulan

Rumus Faulhaber untuk jumlah pangkat

$$\sum_{k=1}^{n} k^p$$

Dapat diturunkan melalui berbagai pendekatan matematis. Pada tulisan ini telah dibahas tiga pendekatan, yaitu metode teleskopis berbasis identitas binomial, metode selisih maju Newton–Gregory, dan Formula Interpolasi Newton Eksplisit (FINE). Meskipun berangkat dari sudut pandang yang berbeda, ketiga pendekatan tersebut sama-sama memanfaatkan sifat bahwa jumlah parsial $\sum_{k=1}^{n} k^p$ merupakan polinomial berderajat $p+1$, sehingga bentuk tertutupnya dapat ditentukan secara sistematis. 

Metode teleskopis menghasilkan hubungan rekursif yang menurunkan rumus Faulhaber secara bertahap dari jumlah pangkat yang lebih rendah. Sementara itu, metode Newton–Gregory dan FINE memperoleh bentuk tertutup melalui teori selisih hingga dan interpolasi polinomial. Secara khusus, FINE dapat dipandang sebagai bentuk eksplisit dari interpolasi Newton yang menggunakan sejumlah nilai awal untuk langsung merekonstruksi polinomial jumlah parsial. Sebagai ilustrasi, ketiga pendekatan tersebut menghasilkan rumus yang sama untuk

$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

dan$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$

Lebih umum lagi, ketiga metode tersebut dapat diterapkan untuk setiap $p \in \mathbb{N}$, sehingga memberikan cara sistematis untuk memperoleh rumus Faulhaber tanpa harus menggunakan bilangan Bernoulli.Perlu dicatat bahwa ketiga metode ini bukanlah satu-satunya cara untuk menurunkan rumus Faulhaber. Dalam literatur terdapat berbagai pendekatan lain, seperti penggunaan bilangan Bernoulli, fungsi pembangkit (generating functions), interpolasi polinomial, teori operator, metode selisih hingga, serta teknik kombinatorial. Masing-masing memiliki kelebihan dan konteks penerapan yang berbeda. Pendekatan yang disajikan pada tulisan ini dipilih karena bertumpu pada identitas binomial, selisih hingga, dan interpolasi Newton, sehingga penurunan rumus Faulhaber dapat dilakukan secara elementer tanpa bergantung pada bilangan Bernoulli.

Tags: #Deret Pangkat #Barisan Aritmetika bertingkat #Deret Aritmetika bertingkat #Newton-Gregory #Deret Teleskopis # FINE #Formula interpolasi Newton Eksplisit #Formula for Iterpolated Newton Expansion