Barisan Aritmetika Bertingkat

                  

Barisan Aritmetika Bertingkat adalah barisan bilangan di mana selisih antar suku berturut-turut tidak langsung konstan, tetapi selisih dari selisihnya (selisih hingga) menjadi konstan pada tingkat tertentu.

Penurunan Rumus Barisan Aritmetika Tingkat 2

Berikut ini pola barisan aritmetika tingkat kedua

Misalkan barisan \(U_1, U_2, U_3, \dots\) dengan selisih tingkat kedua konstan.

Definisikan:

• \(U_1 = a\) (suku pertama)
• \(v_1 = U_2-U_1 = b\) (beda tingkat 1 pertama)
• \(w = v_2-v_1 = c\) (beda tingkat 2, konstan)

Dari pola selisih hingga:

$$ U_n = U_1 + v_2 + \cdots + v_{n-1} $$

Karena \(v_n\) membentuk barisan aritmetika biasa:

$$ v_n = b + (n-1)c \quad\Rightarrow\quad v_{n-1}=b+(n-2)c $$

Jumlah \((n-1)\) suku pertama \(v_m\):

$$ \sum_{m=1}^{n-1} v_m= \frac{n-1}{2}\big(v_1+v_{n-1}\big) = \frac{n-1}{2}\big(2b+(n-2)c\big) $$

Sehingga rumus Newton-Gregory tingkat kedua:

$$ U_n = a + (n-1)b + \frac{(n-1)(n-2)}{2}c $$

$$ U_n = \binom{n-1}{0}a + \binom{n-1}{1}b + \binom{n-1}{2}c $$

$$ \binom{n-1}{0} = 1 $$

$$ \binom{n-1}{1} = n-1 $$

$$ \binom{n-1}{2} = \frac{(n-1)(n-2)}{2} $$

$$ \begin{aligned} & \text{Dimana secara umum:} \\ \binom{n}{r} &= \frac{n!}{r!(n-r)!} \implies \text{Rumus kombinasi (koefisien binomial)} \end{aligned} $$ 

Bentuk polinomial baku (kuadrat):

$$ U_n = \frac{c}{2}n^{2} + \left(b-\frac{3c}{2}\right)n + (a-b+c) $$

---

Contoh: \(1,3,6,10,\dots\)

\(a=1,\; b=2,\; c=1\)

$$ U_n = 1 + (n-1)2 + \frac{(n-1)(n-2)}{2} = \frac{n^2+n}{2} $$

Deret Aritmetika Tingkat Dua

Deret aritmetika tingkat dua adalah deret yang suku-sukunya (yaitu bilangan yang dijumlahkan) membentuk barisan aritmetika tingkat dua.

Dengan kata lain, jika deretnya ditulis sebagai:

$$U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_n = \sum_{m=1}^{n} U_m$$

maka deret ini disebut deret aritmetika tingkat dua jika dan hanya jika selisih antar suku yang berurutan

$$v_m = U_{m+1} - U_m$$

membentuk barisan aritmetika (barisan tingkat satu), atau secara ekuivalen, selisih tingkat kedua dari suku-suku deret tersebut bernilai konstan:

$$w_m = v_{m+1} - v_m = (U_{m+2}-U_{m+1})-(U_{m+1}-U_m) = \text{konstan}$$

Penurunan Rumus Deret Bertingkat 2

Misalkan:

$$S_n = U_1+U_2+U_3+\cdots+U_n$$ $$U_1 = a,\quad v_1=b,\quad w=c$$

Maka suku ke-$m$:

$$U_m= a + (m-1)b + \binom{m-1}{2}c = a + (m-1)b + \frac{(m-1)(m-2)}{2}c$$

Jumlahkan:

$$S_n = \sum_{m=1}^{n}U_m = \sum_{m=1}^{n}a + b\sum_{m=1}^{n}(m-1) + \frac{c}{2}\sum_{m=1}^{n}(m-1)(m-2)$$

Hitung tiap bagian:

$$ \begin{aligned} \sum_{m=1}^{n}a &= na \\ \sum_{m=1}^{n}(m-1) &= 1+2+\cdots+(n-1) = \frac{n(n-1)}{2} \\ \sum_{m=1}^{n}(m-1)(m-2) &= \frac{n(n-1)(n-2)}{3} \end{aligned} $$

Sehingga:

$$S_n = na + b\cdot\frac{n(n-1)}{2} + \frac{c}{2}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)}{3}$$

Rumus Akhir

$$\;S_n = na + \frac{n(n-1)}{2}b + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}c\;$$

$$S_n = \binom{n}{1}a + \binom{n}{2}b + \binom{n}{3}c$$

$$\binom{n}{1} = n$$

$$\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$$

$$\binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$$

Catatan: Koefisien $b$ dijumlahkan sebanyak $(n-1)$ suku pertama $1+2+\cdots+(n-1)$, koefisien $c$ dijumlahkan sebanyak bilangan segitiga $1+3+6+\cdots+\binom{n-1}{2} = \binom{n}{3}$.

Penurunan Rumus Barisan Aritmetika Tingkat 3

Berikut ini pola barisan aritmetika tingkat ketiga

Misalkan barisan \(U_1, U_2, U_3, \dots\) dengan selisih tingkat ketiga konstan.

Definisikan dari pola selisih hingga:

• \(U_1 = a\)
• \(v_1 = U_2-U_1 = b\)
• \(w_1 = v_2-v_1 = c\)
• \(x = w_2-w_1 = d\) (konstan)

Maka:

$$U_n = U_1 + \sum_{m=1}^{n-1} v_m$$

$$v_m = b + (m-1)c + \binom{m-1}{2}d$$

sehingga:

$$ \begin{aligned} \sum_{m=1}^{n-1} v_m&= (n-1)b + c\binom{n-1}{2} + d\binom{n-1}{3} \\ &= (n-1)b + \frac{(n-1)(n-2)}{2}c + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}d \end{aligned} $$

Jadi rumus barisan aritmetika tingkat ketiga :

$$\;U_n = a + (n-1)b + \frac{(n-1)(n-2)}{2}c + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}d\;$$

Kita tentukan jumlah deret tingkat 2:

$$S_{n-1} = (n-1)a + b\cdot\frac{(n-1)(n-2)}{2} + \frac{c}{2}\cdot\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{3}$$

Sehingga rumus Newton-Gregory tingkat ketiga:

$$ \;\;U_n = a + (n-1)b + \binom{n-1}{2}c + \binom{n-1}{3}d\;\; $$ $$ U_n = a + (n-1)b + \frac{(n-1)(n-2)}{2}c + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}d $$

Rumus polinomial baku (kubik):

$$ U_n = \frac{d}{6}n^{3} + \left(\frac{c}{2}-d\right)n^{2} + \left(b-\frac{3c}{2}+\frac{11d}{6}\right)n + (a-b+c-d) $$

---

Contoh: \(5, 11, 35, 89, 185,\dots\)

\(a=5,\; b=6,\; c=18,\; d=12\)

$$ U_n = 5 + 6(n-1) + 9(n-1)(n-2) + 2(n-1)(n-2)(n-3) $$ $$ U_n = 2n^{3}-3n^{2}+n+5 $$

Penurunan Deret Aritmetika Tingkat 3 (pola)

Barisan tingkat 3:

$$U_m = a + (m-1)b + \binom{m-1}{2}c + \binom{m-1}{3}d$$

Jumlah $n$ suku:

$$S_n = \sum_{m=1}^{n} U_m = a\sum_{m=1}^{n}1 + b\sum_{m=1}^{n}(m-1) + c\sum_{m=1}^{n}\binom{m-1}{2} + d\sum_{m=1}^{n}\binom{m-1}{3}$$

Pakai identitas hockey-stick $\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\binom{m-1}{j}=\binom{n}{j+1}$:

$$ \begin{aligned} \sum 1 &= \binom{n}{1}=n \\ \sum (m-1) &= \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2} \\ \sum \binom{m-1}{2} &= \binom{n}{3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6} \\ \sum \binom{m-1}{3} &= \binom{n}{4}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} \end{aligned} $$

Rumus akhir

$$\;S_n = na + \frac{n(n-1)}{2}b + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}c + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}d\;$$ $$S_n = na + b\binom{n}{2} + c\binom{n}{3} + d\binom{n}{4}$$

Tags: #Barisan Aritmetika Bertingkat#Barisan Aritmetika Tingkat 2#Barisan Aritmetika Tingkat 3#Deret Aritmetika Tingkat 2#Deret Aritmetika Tingkat 3#Newton-Gregory#polinomial derajat 2#polinomial derajat 3