Hubungan Ekspansi Binomial dan Pola Selisih
Seperti yang kita ketahui dari pembahasan dasar ekspansi binomial, kita memiliki bentuk umum untuk penjabaran pangkat dua dan pangkat tiga sebagai berikut:
$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$
Untuk membuat pola selisih, kita dapat memanipulasi bentuk $(a-b)$ dengan menulisnya sebagai penjumlahan dengan bilangan negatif, yaitu $(a + (-b))$. Dengan mensubstitusikan nilai $(-b)$ ke dalam rumus di atas, kita dapat melihat pola yang terbentuk sebagai berikut,
Untuk pangkat dua:
$$(a - b)^2 = (a + (- b))^2$$
$$(a - b)^2 = a^2 + 2a(-b)+ (-b)^2$$
$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
Untuk pangkat tiga:
$$(a-b)^3 = (a + (- b))^3$$
$$(a-b)^3 = a^3 + 3a^2(-b)+ 3a(-b)^2 + (-b)^3$$
$$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b+ 3ab^2 - b^3$$
Jika kita rapikan, pola penjumlahan dan selisihnya akan saling berpasangan dengan rapi seperti ini:
$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$
$$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b+ 3ab^2 - b^3$$
Menurunkan Rumus Selisih Dua Kubik ($a^3 - b^3$)
Berdasarkan penjabaran $(a-b)^3$ yang telah kita temukan di atas, kita bisa memanipulasinya untuk menemukan rumus baku pemfaktoran dari selisih dua kubik.
Mari kita tulis ulang rumusnya:
$$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b+ 3ab^2 - b^3$$
Pindah ruaskan dan kelompokkan suku $a^3$ dan $-b^3$ di satu sisi:
$$a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3a^2b - 3ab^2$$
Faktorkan suku $3ab$ dari dua suku terakhir:
$$a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$$
Karena kedua suku memiliki unsur $(a-b)$, kita bisa mengeluarkannya:
$$a^3 - b^3 = (a-b) \left[ (a-b)^2 + 3ab \right]$$
Jabarkan kembali bentuk $(a-b)^2$ di dalam kurung siku:
$$a^3 - b^3 = (a-b) \left[ (a^2 - 2ab + b^2) + 3ab \right]$$
Selesaikan operasi pada suku yang sejenis ($-2ab + 3ab = ab$), sehingga didapat hasil akhir:
$$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$
Kita bisa faktorkan $8x^3 - 27$ menjadi $(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$ dengan memanfaatkan rumus di atas.
Menurunkan Rumus Jumlah Dua Kubik ($a^3 + b^3$)
Selain selisih, kita juga bisa menemukan rumus pemfaktoran untuk jumlah dua kubik. Pendekatannya persis sama, namun kali ini kita berangkat dari ekspansi binomial $(a+b)^3$:
$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$
Kelompokkan suku $a^3$ dan $b^3$ di satu ruas:
$$a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3a^2b - 3ab^2$$
Faktorkan suku $-3ab$ dari dua suku terakhir:
$$a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$$
Keluarkan faktor yang sama, yaitu $(a+b)$:
$$a^3 + b^3 = (a+b) \left[ (a+b)^2 - 3ab \right]$$
Jabarkan kembali $(a+b)^2$ di dalam kurung siku:
$$a^3 + b^3 = (a+b) \left[ (a^2 + 2ab + b^2) - 3ab \right]$$
Selesaikan operasi pada suku yang sejenis ($2ab - 3ab = -ab$), sehingga didapat hasil akhir:
$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$
Dengan menerapkan rumus tersebut, kita bisa memfaktorkan $8x^3 + 27$ menjadi $(2x + 3)(4x^2 - 6x + 9)$
Catatan Tambahan
1. Bentuk jumlah kuadrat $a^2 + b^2$ tidak bisa difaktorkan lebih lanjut menjadi perkalian dua binomial dalam himpunan bilangan real. Namun, bentuk ini bisa dituliskan dalam bentuk ekuivalen menggunakan manipulasi aljabar:
$$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$$
atau
$$a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$$
2. Secara umum, untuk $(a - b)^n$, tanda suku akan bergantian mengikuti koefisien binomial. Namun, perlu diingat bahwa bentuk $a^n - b^n$ bisa difaktorkan dengan memunculkan bentuk (a - b) untuk semua n bilangan asli, sedangkan $a^n + b^n$ hanya bisa difaktorkan dengan memunculkan bentuk (a + b) jika n ganjil.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar