Ekspansi Binomial

Dalam pelajaran aljabar dasar di sekolah menengah, salah satu materi yang dipelajari adalah menjabarkan bentuk binomial berpangkat, yang pada hakikatnya merupakan perkalian aljabar secara berulang. Perkalian aljabar didasarkan pada sifat distributif dan sering dijelaskan melalui analogi perkalian bilangan (aritmetika) serta model luas bangun datar (geometri). Untuk kasus perkalian dua binomial, salah satu teknik yang banyak digunakan adalah skema panah atau metode FOIL (First, Outer, Inner, Last).

Artikel ini membahas bagaimana konsep perkalian aljabar berkembang menjadi ekspansi binomial, Segitiga Pascal mempermudah penentuan koefisien, serta  Teorema Binomial Newton memperluas konsep tersebut hingga menjadi salah satu landasan perkembangan kalkulus.

Perkalian Dua Suku

Misalkan kita menghitung $25 \times 12 = 300$. Kita uraikan :$$ \begin{aligned} (20+5)(10+2) &= (20\times10)+(20\times2)+(5\times10)+(5\times2) \\ &=200+40+50+10 =300 \end{aligned} $$

Secara geometri:

                                 

dan secara skema:

                                    

Misalkan kita akan mengalikan $$ (a+b)(c+d),$$ dengan menggunakan metode geometri hasil perkalian ini adalah luas seluruh persegi panjang yng merupakan  jumlah luas setiap bagian suatu persegi panjang: $$ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd $$

Kita juga bisa menggunakan skema dengan panah, dapat digambarkan seperti ini:

                            

Hasilnya: $$ ac+ad+bc+bd. $$ Metode kemudian menjadi standard dalam perkalian aljabar.

Bentuk Binomial Berpangkat

Pangkat 2$$ \begin{aligned} (a+b)^2 &=(a+b)(a+b)\\ &=a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b\\ &=a^2+2ab+b^2 \end{aligned} $$

Pangkat 3$$ \begin{aligned} (a+b)^3 &=(a+b)^2(a+b)\\ &=(a^2+2ab+b^2)(a+b)\\ &=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{aligned} $$Cara ini benar, namun kurang efisien untuk pangkat tinggi. Lalu cara apa yang lebih efisien? Berikut penjelasan, cara membentuk binomial pangkat dengan memanfaatkan pola bilangan segitiga Pascal.

Pola bilangan Segitiga Pascal

Pola bilangan Segitiga Pascal adalah susunan bilangan berbentuk segitiga yang diawali dengan angka 1 di puncaknya. Setiap bilangan pada baris berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan dua bilangan yang tepat berada di atasnya, sedangkan bilangan pada kedua tepi setiap baris selalu bernilai 1. Sebenarnya, pola bilangan ini telah dikenal berabad-abad sebelum masa Blaise Pascal di berbagai peradaban, antara lain India (Pingala dan Halayudha), dunia Islam (Al-Karaji dan Omar Khayyam), serta Tiongkok (Jia Xian dan Yang Hui). Namun, melalui karya Pascal yang membahas segitiga bilangan tersebut secara sistematis, serta karena pengaruh perkembangan matematika di Eropa sejak masa Renaisans hingga Revolusi Ilmiah, pola bilangan ini kemudian dikenal luas dengan nama Segitiga Pascal.

Setiap bilangan pada Segitiga Pascal juga merupakan koefisien binomial, yaitu koefisien pada hasil pengembangan bentuk $(a+b)^n$. Oleh karena itu, Segitiga Pascal memiliki peran penting dalam kombinatorika, peluang, dan aljabar.

Koefisien ekspansi binomial mengikuti Segitiga Pascal.$$\begin{array}{c} 1 \\ 1 \quad 1 \\ 1 \quad 2 \quad 1 \\ 1 \quad 3 \quad3 \quad 1 \\ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \end{array} $$

Aturan Penyusunan

1. Baris ke-0 hanya $1$.
2. Setiap baris diawali dan diakhiri $1$.
3. Bilangan tengah = jumlah dua bilangan di atasnya:$$ \text{Bilangan baru}= (\text{atas kiri})+(\text{atas kanan}) $$$$ 6=3+3,\quad 10=4+6,\quad 10=6+4 $$

Penerapan pada ekspansi binomial

Ekspansi binomial untuk pangkat bulat positif telah dikenal oleh matematikawan jauh sebelum masa Newton. Di berbagai peradaban, seperti India, Persia, dan Tiongkok, koefisien pengembangan binomial telah disusun dalam pola bilangan yang sekarang dikenal sebagai Segitiga Pascal, meskipun pada masa itu pola tersebut memiliki nama yang berbeda.

Koefisien diambil dari Segitiga Pascal, pangkat $a$ turun, pangkat $b$ naik. Ingat $x^0=1$.$$ \begin{aligned} (a+b)^2 &= 1a^2b^0+2a^1b^1+1a^0b^2 = a^2+2ab+b^2 \\ (a+b)^3 &= 1a^3b^0+3a^2b^1+3a^1b^2+1a^0b^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{aligned} $$

Segitiga Pascal sangat membantu menentukan koefisien ekspansi binomial untuk pangkat bulat positif. Namun, bagaimana jika pangkatnya berupa pecahan, negatif, atau bilangan real lainnya? Pertanyaan inilah yang kemudian dijawab oleh Isaac Newton melalui Teorema Binomial Newton. Dalam teorema tersebut, Newton merumuskan secara sistematis bentuk umum ekspansi binomial yang tidak hanya berlaku untuk pangkat bulat positif, tetapi juga dapat diperluas ke pangkat real, termasuk pangkat pecahan dan negatif. Perluasan inilah yang memungkinkan pengembangan binomial ke dalam bentuk deret tak hingga dan menjadi salah satu gagasan penting dalam perkembangan kalkulus dan analisis matematika. 

Teorema Binomial Newton

Teorema Binomial Newton terdiri atas dua bentuk. Bentuk pertama berlaku untuk pangkat bulat positif dan menghasilkan ekspansi hingga (berhingga). Bentuk kedua merupakan generalisasi untuk pangkat real, termasuk pangkat pecahan dan negatif, yang menghasilkan deret tak hingga. Bentuk umum inilah yang menjadi salah satu dasar berkembangnya deret pangkat dalam kalkulus dan analisis matematika.

1. Pangkat Bulat Positif

Seperti telah dibahas pada Segitiga Pascal, setiap baris segitiga menghasilkan koefisien pengembangan $(a+b)^n$. Hubungan tersebut dirumuskan secara umum oleh Teorema Binomial Newton sebagai$$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^{k} $$dengan$$ (a+b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + \binom{n}{n}b^n $$ dan $$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

2. Generalisasi Pangkat Pecahan (Akar) & Negatif

Untuk \(|x|<1\) dan \(n\) bilangan real:

$$ (1+x)^n = \sum_{k=0}^{\infty}\binom{n}{k}x^k $$

Koefisien Binomial untuk Pangkat Real

Karena faktorial hanya untuk bilangan bulat tak negatif, untuk pangkat real koefisien binomial digunakan:$$ \binom{n}{k} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!} $$sehingga bentuk deret binomial ditulis menjadi

$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\cdots,\quad |x|<1 $$

Perhitungan Taksiran Akar

A. Taksiran $\sqrt{12}$

Ambil kuadrat sempurna terdekat $16$:$$ \sqrt{12}=\sqrt{16-4}=\sqrt{16\left(1-\frac{4}{16}\right)}=4\left(1-\frac14\right)^{1/2} $$dengan $x=-\frac14$, $n=\frac12$, 3 suku pertama:$$ \begin{aligned} \left(1-\frac14\right)^{1/2} &\approx 1+\frac12\left(-\frac14\right)+\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)}{2!}\left(-\frac14\right)^2 \\ &=1-\frac18-\frac{1}{128}= \frac{111}{128} \end{aligned} $$

$$\sqrt{12}\approx4\cdot\frac{111}{128}=\frac{111}{32}=3.46875 \quad (\text{asli }3.46410) $$

Catatan: Dipilih $16$, bukan $9$, karena menghasilkan $|x|=\frac14$, yang lebih kecil daripada $\frac13$. Semakin kecil nilai $|x|$, semakin cepat deret binomial konvergen sehingga hasil taksirannya lebih akurat.

B. Taksiran $\sqrt[3]{30}$

$$\sqrt[3]{30}=\sqrt[3]{27+3}=\sqrt[3]{27\left(1+\frac{3}{27}\right)}=3\left(1+\frac19\right)^{1/3} $$

$$\begin{aligned}\left(1+\frac19\right)^{1/3}&\approx 1+\frac13\cdot\frac19+\frac{\frac13\left(\frac13-1\right)}{2!}\left(\frac19\right)^2 \\ &=1+\frac1{27}-\frac1{729}= \frac{755}{729} \end{aligned} $$

$$\sqrt[3]{30}\approx3\cdot\frac{755}{729}=\frac{755}{243}\approx3.10699 \quad (\text{asli }3.10723) $$

Binomial Newton sebagai Batu Pijakan Menuju Kalkulus

Perluasan ke Deret Tak Hingga

Teorema binomial Newton memperluas ekspansi binomial dari bentuk berhingga  $(a+b)^n$ dengan n bilangan bulat positif, ekspresi tersebut dapat diperluas sehingga mencakup pangkat sebarang, termasuk pangkat pecahan maupun negatif. Perluasan ini menghasilkan deret tak hingga, yang kemudian menjadi salah satu gagasan penting dalam perkembangan kalkulus.

dengan 

Kaitan dengan Bilangan $e$

$$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots$$Deret ini merupakan salah satu contoh deret pangkat yang menjadi objek utama dalam kalkulus.

Kaitan dengan Bilangan $\pi$

$$\frac{1}{1+x^2}=(1+x^2)^{-1}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots$$

Dengan mengintegralkan setiap suku pada persamaan di atas :

$$\arctan x = x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$$

Sehingga untuk $x=1$:

$$\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$$

Penutup

Berawal dari konsep sederhana perkalian aljabar, ekspansi binomial berkembang menjadi salah satu gagasan penting dalam matematika. Segitiga Pascal menyediakan cara yang mudah untuk menentukan koefisien ekspansi pangkat bulat positif, sedangkan Teorema Binomial Newton memperluas konsep tersebut ke pangkat real sehingga menghasilkan deret tak hingga. Perkembangan ini menjadi salah satu landasan penting bagi lahirnya kalkulus, analisis matematika, dan berbagai metode numerik yang digunakan hingga saat ini.

Referensi

1. Boyer, Carl B., & Merzbach, Uta C. A History of Mathematics. 3rd ed. John Wiley & Sons, 2011.
2. Dunham, William. Journey through Genius: The Great Theorems of Mathematics. Penguin Books, 1991.
3. Graham, Ronald L., Donald E. Knuth, & Oren Patashnik. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science. 2nd ed. Addison-Wesley, 1994.
4. Katz, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction. 3rd ed. Addison-Wesley, 2008.

Tags : #Aljabar #BinomialNewton #SegitigaPascal #EkspansiBinomial #PenjabaranBinomial #PengayaanMatematikaSMA #AkarKuadrat #Akarkubik