FINE (Formula Interpolasi Newton Eksplisit) untuk Barisan Aritmetika Bertingkat)

Pada artikel sebelumnya kita telah bahas tentang barisan aritmetika bertingkat representasi Newton Gregory (NG). Pada bahasan kali ini, kita akan memodifikasinya dengan tujuan untuk menghindari penggunaan tabel selisih hingga sehingga perhitungan cukup bergantung pada $k+1$ suku awal barisan

Proses modifikasi rumus

Rumus tingkat kedua

Kita tuliskan rumus barisan aritmetika Newton Gregory tingkat kedua:

$$ U_n^{(2)} = a + (n-1)b + \frac{(n-1)(n-2)}{2}c $$

Substitusi $ c = \Delta^2 U_1 = U_3 - 2U_2 + U_1 $ sehingga kita dapatkan

$$ U_n^{(2)} = U_1 + (n-1)(U_2 - U_1) + \frac{(n-1)(n-2)}{2}(U_3 - 2U_2 + U_1) $$

Selanjutnya kita kelompokkan berdasarkan suku-suku awal barisan, kemudian kita faktorkan $$ \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{2} $$ dari setiap suku, kita peroleh:

$$ U_n^{(2)} = \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{2} \left( \frac{U_1}{n-1} - \frac{2U_2}{n-2} + \frac{U_3}{n-3} \right) $$

$$ U_n^{(2)} = \frac{1}{2!} \frac{n!}{n(n-4)!} \left( \frac{U_1}{n-1} - \frac{2U_2}{n-2} + \frac{U_3}{n-3} \right) $$

Rumus tingkat ketiga

Rumus barisan aritmetika Newton Gregory tingkat ketiga

$$ U_n^{(3)} = a + (n-1)b + \frac{(n-1)(n-2)}{2}c + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}d $$

Dengan: $ d = \Delta^3 U_1 = U_4 - 3U_3 + 3U_2 - U_1 $

Selanjutnya,

$$ U_n^{(3)} = U_1 + (n-1)(U_2 - U_1) + \frac{(n-1)(n-2)}{2}(U_3 - 2U_2 + U_1) $$

$$ + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}(U_4 - 3U_3 + 3U_2 - U_1) $$

Dengan memfaktorkan $$ \frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{6} $$ dari setiap suku setelah pengelompokkan berdasarkan suku-suku barisan, kita peroleh:

$$ U_n^{(3)} = -\frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{6} \left( \frac{U_1}{n-1} - \frac{3U_2}{n-2} + \frac{3U_3}{n-3} - \frac{U_4}{n-4} \right) $$

$$ U_n^{(3)} = -\frac{1}{3!} \frac{n!}{n(n-5)!} \left( \frac{U_1}{n-1} - \frac{3U_2}{n-2} + \frac{3U_3}{n-3} - \frac{U_4}{n-4} \right) $$

Berikut tabulasi modifikasi NG dari tingkat pertama sampai tingkat ketiga, pada baris akhir, dituliskan umum untuk sembarang k bilangan bulat positif.

Rumus umum

Rumus umum barisan aritmetika tingkat k dapat ditulis:

$$ U_n^{(k)} = (-1)^k \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k+1} (n - j) \sum_{i=0}^{k} (-1)^i \binom{k}{i} \frac{U_{i+1}}{n - (i + 1)} $$

Rumus ini kita namakan FINE (Formula Interpolasi Newton Eksplisit atau Formula for Interpolated Newton Expansion). Berbeda dengan representasi Newton–Gregory klasik yang menggunakan selisih hingga ($\Delta, \Delta^2, \dots$), representasi FINE menuliskan suku ke-$n$ secara langsung hanya berdasarkan $k+1$ suku awal. Dengan demikian, proses perhitungan tidak lagi memerlukan penyusunan tabel selisih hingga.

Cara menulis FINE untuk k tertentu

Jika kita melihat FINE, tampaknya sulit menuliskan rumus barisan bertingkat untuk k yang kita inginkan, padahal sebenarnya tidak demikian. Kita bisa lihat pola rumus yaitu  tanda di luar adalah $(-1)^k$, yaitu positif untuk $k$ genap dan negatif untuk $k$ ganjil, sedangkan koefisien di dalam kurung mengikuti $(-1)^i \binom{k}{i}$, sehingga besarnya mengikuti Koefisien Segitiga Pascal tetapi tandanya berselang-seling positif-negatif

Sekarang kita tulis rumus barisan untuk k=4:

$$ U_n^{(4)} = \frac{1}{4!} \frac{n!}{n(n-6)!} \left( \frac{U_1}{n-1} - \frac{4U_2}{n-2} + \frac{6U_3}{n-3} - \frac{4U_4}{n-4} + \frac{U_5}{n-5} \right) $$

dan untuk k=5

$$ U_n^{(5)} = -\frac{1}{5!} \frac{n!}{n(n-7)!} \left( \frac{U_1}{n-1} - \frac{5U_2}{n-2} + \frac{10U_3}{n-3} - \frac{10U_4}{n-4} + \frac{5U_5}{n-5} - \frac{U_6}{n-6} \right) $$

Contoh perhitungan

Soal

Diketahui barisan aritmetika tingkat ketiga : $1, 5, 14, 30, \dots$ . Tentukan  suku kesepuluh ($U_{10}$) barisan tersebut!

Jawaban

1. Metode Polinomial

$$ U_n^{(3)} = An^3 + Bn^2 + Cn + D $$

Setelah dihitung diperoleh $A=\frac{1}{3}, B=\frac{1}{2}, C=\frac{1}{6}, D=0$ sehingga:

$$ U_n^{(3)} = \frac{1}{3}n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6}n $$

$$ U_{10}^{(3)} = \frac{1}{3}(10)^3 + \frac{1}{2}(10)^2 + \frac{1}{6}(10) = 385 $$

2. Representasi Newton Gregory

$$ U_n^{(3)} = a + \binom{n-1}{1}b + \binom{n-2}{2}c + \binom{n-3}{3}d $$

$$ U_{10}^{(3)} = 1 + \binom{9}{1}4 + \binom{8}{2}5 + \binom{7}{3}2 = 385 $$

3. Representasi FINE

$$ U_n^{(3)} = -\frac{1}{3!} \frac{n!}{n(n-5)!} \left( \frac{U_1}{n-1} - \frac{3U_2}{n-2} + \frac{3U_3}{n-3} - \frac{U_4}{n-4} \right) $$

$$ U_n^{(3)} = -\frac{1}{3!} (n-1)(n-2)(n-3)(n-4) \left( \frac{U_1}{n-1} - \frac{3U_2}{n-2} + \frac{3U_3}{n-3} - \frac{U_4}{n-4} \right) $$

$$ U_{10}^{(3)} = -\frac{1}{6} \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \left( \frac{1}{9} - \frac{3 \cdot 5}{8} + \frac{3 \cdot 14}{7} - \frac{30}{6} \right) = 385 $$

Penutup

Formula FINE merupakan bentuk eksplisit dari representasi Newton–Gregory yang hanya memanfaatkan $k+1$ suku awal suatu barisan aritmetika bertingkat. Koefisiennya mengikuti pola Segitiga Pascal dengan tanda berselang-seling $(-1)^i \binom{k}{i}$, sehingga rumus untuk tingkat berapa pun dapat  dibentuk langsung dari $k+1$ suku awal tanpa perlu menyusun tabel selisih hingga.